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La mia attività di ricerca si colloca nell'ambito delle Geometrie di Galois e dello stretto legame che esse hanno con aree più applicate della matematica, quali la teoria dei codici e la crittografia. Alle Geometrie di Galois si riconducono alcune tematiche interdisciplinari di rilievo, come quella relativa al numero dei punti razionali di una curva algebrica definita sopra un campo finito, nel cui studio si sono dimostrati particolarmente efficaci strumenti che interagiscono con la combinatoria, la teoria dei gruppi, la teoria dei numeri e la geometria algebrica sopra campi finiti.

Più nello specifico, problematiche relative ad oggetti notevoli in spazi proiettivi o affini sopra campi finiti, quali esistenza, non esistenza, classificazione e studio di famiglie infinite, possono essere ricondotte allo studio di specifiche varietà algebriche su campi finiti o, più in generale, di polinomi su campi finiti. Per tali varietà, la determinazione di punti razionali, o meglio di componenti razionali assolutamente irriducibili, risulta fondamentale. A tal fine vengono utilizzati risultati di tipo Hasse–Weil e loro generalizzazioni, insieme ad analisi locali delle singolarità e dei rami.

Altre tecniche basate sull'analisi dei gruppi di automorfismi, dei gruppi di Galois e di monodromia di specifici polinomi e campi di funzioni sono state applicate a tali tematiche. Questi strumenti sono stati da me utilizzati principalmente per lo studio di curve e varietà su campi finiti, di funzioni e polinomi con proprietà combinatorie o crittografiche, di configurazioni geometriche finite e dei codici ad esse associati.

Negli anni più recenti tale impostazione si è estesa in modo sistematico alla classificazione di fenomeni eccezionali, agli insiemi lineari scattered e alle loro generalizzazioni di dimensione superiore, ai codici in metrica di rango e alle connessioni tra geometria finita, crittografia e teoria dei codici.

Principali temi di ricerca

• Curve, campi di funzioni e varietà algebriche su campi finiti, con particolare attenzione a punti razionali, automorfismi, semigruppi di Weierstrass e problemi di irriducibilità.

• Funzioni e polinomi di permutazione, funzioni PN/APN, funzioni (c)-differenziali, bent functions e loro generalizzazioni.

• Costruzione e classificazione di oggetti rilevanti in spazi affini e proiettivi su campi finiti, fra cui archi, calotte, insiemi saturanti, blocking sets, semiovali e ovoidi.

• Insiemi lineari scattered, (h)-scattered ed evasive subspaces, polinomi linearizzati e fenomeni di eccezionalità.

• Codici lineari e loro connessioni geometriche, inclusi codici MDS e di ricoprimento, codici algebrico-geometrici, codici quantistici, codici minimali, subspace codes e codici in metrica di rango/MRD.

• Tecniche algebrico-geometriche, gruppali e di monodromia per problemi di esistenza, non esistenza e classificazione asintotica.

• Applicazioni crittografiche, dalla resistenza ad attacchi differenziali a più recenti problemi di privacy in sistemi blockchain.

Curve, campi di funzioni e varietà algebriche su campi finiti

Una parte molto rilevante della mia attività di ricerca si basa sull'analisi di varietà algebriche su campi finiti associate agli oggetti di interesse. L'idea di fondo è trasformare una proprietà combinatoria o algebrica in una condizione sui punti razionali di una curva o di una varietà.

Un ruolo centrale è svolto dalla ricerca di componenti assolutamente irriducibili definite sul campo base. A questo scopo utilizzo l'analisi di punti singolari e tangenti, lo studio dei rami mediante trasformazioni quadratiche, sezioni iperpiane, campi di funzioni, trasformazioni birazionali e stime sul numero di punti razionali.

Accanto all'analisi locale di singolarità e rami, una parte crescente del lavoro utilizza campi di funzioni e rivestimenti, gruppi di automorfismi e di Galois, nonché gruppi di monodromia. Questi strumenti consentono sia di controllare il numero di punti razionali sia di affrontare problemi di classificazione in cui la proprietà studiata deve persistere su infinite estensioni del campo base.

In questa prospettiva rientrano i lavori sui gruppi di automorfismi di curve piane in caratteristica positiva [2013/1], sulle curve massimali e minimali e sui loro rivestimenti [2020/7], [2021/12], [2021/14], sui semigruppi di Weierstrass della curva di Suzuki [2021/2], e la survey [2021/9], nella quale viene sviluppato in modo sistematico il ruolo di teoremi di tipo Hasse–Weil nello studio di classi rilevanti di funzioni polinomiali.

Le stesse idee sono state utilizzate per codici AG e quantistici costruiti da curve con molti punti razionali [2018/3], [2018/9], [2018/11], [2019/2], [2021/11], per codici localmente recuperabili ottenuti da gruppi di automorfismi di campi di funzioni [2020/11] e per problemi di classificazione asintotica nei quali la geometria della varietà associata viene combinata con informazioni sul gruppo di Galois o di monodromia.

Quest'ultimo punto è divenuto uno dei temi trasversali della mia attività più recente.

Funzioni e polinomi di permutazione, funzioni PN/APN e loro generalizzazioni

Un ampio filone della mia attività riguarda funzioni su campi finiti con particolari proprietà algebriche, combinatorie o crittografiche.

Il collegamento con la geometria algebrica nasce dal fatto che a una funzione (f) può spesso essere associata una curva o una varietà i cui punti razionali descrivono collisioni della funzione stessa. L'esistenza di componenti assolutamente irriducibili definite sul campo base permette allora, mediante risultati di tipo Hasse–Weil, di ottenere risultati di non esistenza o di classificazione.

Il filone sui polinomi di permutazione, inizialmente sviluppato attraverso complete permutation polynomials ed exceptional polynomials [2016/7], [2017/2], si è ampliato allo studio sistematico di trinomials, polinomi razionali e funzioni con molteplicità di fibra prescritta. In quest'ultima direzione si colloca anche la costruzione di two-to-one functions da estensioni di Galois [2022/2].

In [2018/1], [2018/8], [2018/10], [2020/1], [2021/3], [2021/6], [2021/10], [2021/17], [2025/2] e [2026/2] sono state ottenute costruzioni, classificazioni e risultati di non esistenza per famiglie sparse o strutturate di polinomi e funzioni razionali di permutazione.

In [2018/2] il collegamento con curve algebriche viene formulato esplicitamente e utilizzato come metodo di classificazione; in [2021/1] problemi analoghi vengono affrontati per funzioni razionali con piccolo value set. Il lavoro [2025/6] studia invece la classificazione asintotica dei polinomi di Kloosterman, ancora con un punto di vista che combina aritmetica su campi finiti e struttura delle funzioni polinomiali.

Ulteriori problemi congetturali relativi a classi speciali di funzioni polinomiali su campi finiti sono affrontati in [2024/1].

Funzioni PN, APN e (c)-differenziali

Per le funzioni PN/APN e le loro generalizzazioni, ai primi risultati su funzioni planari in caratteristica pari [2019/4], [2020/2], [2020/5] si sono aggiunti risultati sulla costruzione e non esistenza di funzioni (c)-(almost) perfect nonlinear [2021/7], sull'infinità di famiglie APN [2022/4], sulle funzioni generalized APN monomiali [2022/6], su APN permutations [2022/7], crooked functions eccezionali [2022/9], modifiche su sottocampi con bassa (c)-differential uniformity [2022/12], funzioni razionali PN/APN [2023/5], [2023/6] e, più recentemente, sulla non esistenza di famiglie APN infinite ottenute mediante patched monomials in caratteristica dispari [2026/5].

In questi lavori il termine eccezionale viene inteso in senso asintotico: si cerca di determinare quali famiglie mantengano la proprietà richiesta su infinite estensioni, riducendo spesso la questione alla presenza di componenti assolutamente irriducibili in curve o varietà associate.

Un ulteriore sviluppo riguarda funzioni bent e bias differenziali. Il lavoro [2026/3] studia una famiglia di bent functions derivata da permutazioni, mentre altri lavori analizzano differential biases e (c)-differential uniformity in relazione alla resistenza ad attacchi differenziali.

I risultati su semifields in caratteristica (2) e dispari [2017/1], [2018/4] costituiscono un'altra manifestazione della stessa rete di connessioni: funzioni planari, strutture di incidenza e algebre finite possono essere studiate mediante polinomi linearizzati e proprietà geometriche delle varietà associate.

Oggetti notevoli in spazi affini e proiettivi

Insiemi di punti con specifiche proprietà in spazi proiettivi o affini sopra campi finiti costituiscono uno dei filoni originari della mia attività.

Anche in questo contesto le tecniche algebrico-geometriche permettono frequentemente di tradurre condizioni di completezza, copertura o intersezione nello studio di punti razionali di opportune curve e varietà.

Archi

Una parte dei primi lavori riguarda la costruzione di archi completi di piccola cardinalità mediante metodi computazionali [2012/1], [2013/2], [2013/3], [2013/5], [2013/6], [2014/4], [2015/2], [2016/1].

Sollevamenti di sottogruppi di punti razionali di curve ellittiche permettono invece di ottenere famiglie infinite di archi completi nello spazio [2015/1].

Per gli ((n,k))-archi, famiglie costruite a partire da curve cubiche o da curve razionali di grado basso sono studiate in [2016/6], [2017/4], [2017/9].

In [2022/11] viene sviluppato un metodo di natura differente, basato sui gruppi di monodromia di polinomi che descrivono le intersezioni tra rette e curve, per costruire famiglie infinite di archi di specie (m).

Insiemi saturanti

Il problema degli insiemi saturanti è strettamente collegato ai codici di ricoprimento.

Insiemi di piccola cardinalità sono stati studiati mediante metodi computazionali e probabilistici in [2013/5], [2013/8], [2014/1], anche in connessione con codici NMDS.

Il passaggio a ricoprimenti multipli, multiple saturating sets e multiple coverings è affrontato in [2013/7], [2015/4], [2016/8].

Calotte

Le calotte complete e i codici quasi-perfetti ad esse associati rappresentano un altro tema importante.

Famiglie e costruzioni computazionali sono studiate in [2011/1], [2013/4], [2017/5], [2017/7], [2019/6], mentre metodi probabilistici vengono utilizzati in [2017/3], [2017/6].

Archi piani bicoprenti e loro generalizzazioni vengono utilizzati per costruire calotte complete in dimensione superiore in [2014/2], [2015/3], [2017/10].

La connessione tra maximum scattered linear sets e calotte complete è studiata direttamente in [2018/5].

Altre configurazioni finite

Accanto ad archi, calotte e insiemi saturanti, la produzione scientifica comprende lo studio di semiovali e (2)-semiarchi [2014/3], [2014/6], [2016/4], di blocking semiovals con gruppi di automorfismi prescritti [2018/15], di varietà Hermitiane caratterizzate come codewords [2018/7], nonché di resolving sets in piani, spazi proiettivi e grafi di incidenza [2018/13], [2020/4], [2020/9].

Più recentemente ho affrontato problemi di classificazione di ovoidi di basso grado nelle quadriche paraboliche e iperboliche: [2022/13], [2024/4], [2024/7], [2026/8]. Questi lavori sono basati sulla traduzione della condizione combinatoria in sistemi polinomiali e sull'analisi delle varietà che parametrizzano eventuali configurazioni non classiche.

Altri problemi geometrici recenti riguardano saturating linear sets di rango minimo [2024/3], complete ((q+1))-arcs ottenuti dalla curva Hermitiana [2025/5] e la non esistenza di translation spreads di (H(q^2)) [2025/7].

Insiemi lineari scattered e loro generalizzazioni

Gli insiemi lineari scattered e i polinomi linearizzati ad essi associati costituiscono una delle parti centrali della mia attività recente.

Il legame tra scattered linear sets e codici MRD permette di studiare simultaneamente problemi geometrici e problemi di teoria dei codici. Inoltre, associando ai polinomi linearizzati opportune curve e varietà determinantalI, è possibile affrontare problemi di classificazione mediante tecniche algebrico-geometriche.

Polinomi scattered di indice (0) e (1) sono classificati mediante tali tecniche in [2018/6]; la classificazione viene successivamente estesa in [2021/4].

L'analisi di varietà associate ai minori di matrici di Dickson è utilizzata in [2020/10] per provare l'esistenza di una nuova famiglia di maximum scattered linear sets in (PG(1,q^6)) e in [2021/15] per risolvere una congettura relativa alla classificazione in (PG(1,q^6)).

Il rapporto tra costruzioni geometriche e polinomi scattered è già esplicito in [2018/5]; tra le costruzioni più recenti rientrano gli scattered trinomials in caratteristica pari [2024/5].

Exceptional scattered polynomials

La ricerca sugli oggetti scattered si è progressivamente spostata da singole costruzioni alla classificazione e alla comprensione dei fenomeni asintotici.

L'asintotica dei Moore exponent sets è studiata in [2020/3]; la classificazione dei polinomi scattered eccezionali è sviluppata in [2018/6], [2021/4], [2022/1] e [2026/1].

Il punto di vista è quello di associare al polinomio linearizzato opportune curve o varietà determinantalI e di mostrare che, salvo forme molto rigide, esse possiedono componenti assolutamente irriducibili definite sul campo base. L'esistenza di punti razionali su estensioni sufficientemente grandi impedisce quindi l'eccezionalità.

Higher-scattered structures and evasive subspaces

Parallelamente, il concetto di scattered è stato esteso a oggetti più generali.

In [2021/16] sono introdotti e studiati gli evasive subspaces; in [2022/5] gli (r)-fat linearized polynomials; in [2024/6] le exceptional scattered sequences.

Nuove famiglie in dimensione superiore sono costruite in [2025/1], [2025/3] e [2026/4], includendo (2)-scattered ed (h)-scattered subspaces e i corrispondenti codici MRD.

Questi lavori mostrano che la teoria degli insiemi scattered può essere organizzata in termini di sequenze di polinomi linearizzati e di condizioni di intersezione con sottospazi di dimensione prescritta, aprendo problemi di classificazione che generalizzano il caso classico di (PG(1,q^n)).

Codici in metrica del rango e MRD

Il legame con i codici in metrica di rango è diventato particolarmente rilevante negli ultimi anni.

Oltre alle costruzioni MRD associate agli insiemi scattered, sono stati studiati codici di Gabidulin di tensor rank non minimo [2022/8], nuovi codici MRD ottenuti da linear cutting blocking sets [2023/3], codici MRD lineari di tipo eccezionale [2023/4], famiglie tridimensionali di codici MRD [2025/4] e, più recentemente, linear rank-metric intersecting codes [2026/7].

Questo filone mette in relazione classificazione di polinomi linearizzati, geometria degli spazi vettoriali su estensioni finite e invarianti di equivalenza dei codici.

Codici e connessioni geometriche

La teoria dei codici attraversa l'intera attività di ricerca e compare in metriche e contesti differenti.

I primi lavori riguardano codici lineari quasi-perfetti, codici NMDS, codici di ricoprimento e la loro interpretazione mediante archi, calotte e insiemi saturanti [2014/1], [2015/1], [2015/4], [2016/8], [2018/12], [2019/5], [2020/6].

Lo studio di codici funzionali definiti da quadriche, varietà Hermitiane e ipersuperfici [2014/5], [2014/7], [2016/5], insieme allo studio delle seconde e terze configurazioni minime di iperpiani [2016/3], mostra un'altra direzione nella quale la geometria dei supporti determina direttamente i pesi del codice.

Codici algebrico-geometrici e quantistici

Sono stati costruiti e studiati codici multipunto sulla curva Giulietti–Korchmáros [2018/3], codici da estensioni di Kummer [2018/9], codici AG e AG quantistici dalla curva GGS [2018/11], minimum weight codewords di codici AG duali [2019/2], pure gaps su curve con molti posti razionali [2018/14], codici localmente recuperabili da gruppi di automorfismi [2020/11] e codici AG auto-ortogonali con applicazioni quantistiche [2021/11].

Questo filone prosegue i lavori iniziali sulle quantum caps quaternarie [2012/2], [2014/8], [2015/5].

Codici minimali e blocking structures

A partire dai codici lineari minimali in caratteristica dispari [2019/3], sono state studiate distribuzioni dei pesi [2021/8], costruzioni induttive [2021/13], cutting blocking sets e codici associati [2022/10], strong blocking sets ottenuti per concatenazione [2023/1], minimal codewords derivanti dall'incidenza punto-iperpiano [2023/2] e minimal codewords in Norm–Trace codes [2024/2].

La connessione tra cutting blocking sets e codici MRD in [2023/3] costituisce un ponte diretto tra questo filone e la metrica di rango.

Sono stati inoltre studiati equidistant e constant-dimension subspace codes [2016/2], [2017/8], [2021/5], nonché codici lineari ottenuti da archi massimali [2019/1].

Nel loro insieme, questi risultati mostrano come lo stesso linguaggio geometrico — intersezioni di sottospazi, varietà di incidenza, blocking e saturating properties — possa essere utilizzato per problemi di distanza, ricoprimento, peso minimo e recupero locale.

Temi trasversali e sviluppi recenti

Alcuni lavori si collocano ai margini dei filoni principali ma utilizzano gli stessi strumenti algebrici.

Tra questi rientrano lo studio di un'equazione diofantea relativa a somme di potenze [2020/8] e la classificazione asintotica dei polinomi di Kloosterman [2025/6].

Più recentemente, le competenze in crittografia e algebra su campi finiti sono state applicate anche a problemi di privacy in sistemi distribuiti: [2026/6] propone ZeroMT+, un protocollo orientato alla privacy scalabile in blockchain di tipo account-model.

Pur trattandosi di un ambito applicativo differente, il lavoro si inserisce nella continuità dell'interesse per primitive crittografiche, strutture algebriche finite e progettazione di meccanismi con garanzie matematiche verificabili.

Un punto di vista comune

Nel complesso, l'evoluzione della mia attività di ricerca mostra un progressivo passaggio dallo studio di singole configurazioni finite alla ricerca di metodi generali di classificazione.

Un ruolo centrale è svolto dalla possibilità di associare a un problema discreto una curva, una varietà o un campo di funzioni e di leggere la proprietà combinatoria nella geometria dei suoi punti razionali.

Irriducibilità assoluta, singolarità, intersezioni, gruppi di automorfismi, Galois e monodromia, insieme a strumenti computazionali, costituiscono quindi una metodologia comune che collega oggi geometria finita, polinomi su campi finiti, crittografia e codici in diverse metriche.