La mia attività di ricerca si colloca all’intersezione tra geometria finita, geometria algebrica su campi finiti, teoria dei codici e crittografia. Un tema comune è l’uso di metodi algebrici e geometrici per studiare problemi di esistenza, classificazione e fenomeni eccezionali su campi finiti.

Strutture scattered e codici in metrica di rango

Una parte importante della mia ricerca recente riguarda gli insiemi lineari scattered, i polinomi linearizzati e le loro generalizzazioni in dimensione superiore. Questo comprende strutture maximum scattered ed exceptional scattered, scattered sequences, sottospazi evasivi, spazi higher-scattered e h-scattered, e le loro connessioni con codici in metrica di rango e codici MRD.

Particolare attenzione è dedicata ai problemi di classificazione ed equivalenza e all’interazione tra invarianti geometrici e invarianti propri della teoria dei codici.

Funzioni polinomiali su campi finiti

Studio funzioni polinomiali e razionali su campi finiti con particolari proprietà algebriche o combinatorie, tra cui polinomi di permutazione, polinomi di permutazione completa, funzioni planari e APN, funzioni PcN e APcN, e nozioni collegate di uniformità differenziale.

Un problema centrale è la classificazione delle funzioni eccezionali, cioè delle funzioni per le quali una determinata proprietà continua a valere su infinite estensioni del campo di base.

Geometria algebrica su campi finiti

Le curve e le varietà algebriche su campi finiti costituiscono uno strumento fondamentale in tutta la mia attività di ricerca. Utilizzo stime sul numero di punti razionali, irriducibilità, campi di funzioni, gruppi di automorfismi, singolarità, rivestimenti, gruppi di Galois e gruppi di monodromia per studiare problemi provenienti dalla geometria finita, dalla teoria dei codici e dalla crittografia.

Queste tecniche risultano particolarmente efficaci quando una proprietà combinatoria può essere tradotta nell’esistenza o nella non esistenza di punti razionali su una varietà algebrica associata.

Geometria finita

La mia attività in geometria finita comprende la costruzione e la classificazione di configurazioni estremali in spazi proiettivi e affini finiti.

Tra gli oggetti considerati vi sono archi, cap, blocking set, saturating set, semiovali e semiarcs, insiemi lineari, ovoidi, varietà hermitiane e configurazioni in spazi polari finiti.

Un obiettivo ricorrente è comprendere come strutture algebriche determinino configurazioni geometriche e, viceversa, come costruzioni di geometria finita producano nuovi oggetti algebrici e nuovi codici.

Teoria dei codici

Mi interesso di codici derivanti dalla geometria finita e dalla geometria algebrica, tra cui codici MDS e NMDS, codici algebrico-geometrici, codici quantistici, codici minimali, codici localmente recuperabili, codici di sottospazi e codici in metrica di rango.

Strutture geometriche quali blocking set, cutting blocking set, spazi scattered e curve algebriche conducono spesso in modo naturale a codici con parametri estremali o particolari proprietà strutturali.

Funzioni crittografiche

Un’altra direzione di ricerca riguarda le funzioni su campi finiti con applicazioni alla crittografia simmetrica.

Questa comprende funzioni APN e funzioni con particolari proprietà differenziali, proprietà di permutazione, funzioni bent e relative funzioni booleane, nonché approcci algebrici allo studio delle proprietà differenziali e di non linearità. L’attenzione è spesso rivolta alla classificazione, ai comportamenti eccezionali e all’uso della geometria algebrica per escludere o caratterizzare famiglie infinite.